泊松分布由法国数学家西莫恩·德尼·泊松（Simeon-Denis Poisson）于1837年在《概率研究》一书中首次提出，最初用于解决二项分布在“试验次数多、单次概率小”场景下的近似计算问题。

随着应用推广，人们发现它能精准拟合大量自然的稀有事件分布，逐渐成为独立的重要分布。

1. 分布特征：离散型右偏分布

泊松分布是离散型分布，仅对非负整数（事件发生次数k=0,1,2,...）有意义，泊松分布有以下特点：

右偏性：当事件发生的平均次数λ较小时（如λ<5），分布呈明显右偏态，即“发生次数少”的概率高，“发生次数多”的概率极低；

对称性：随着λ增大（如λ≥20），分布逐渐趋近于对称，可近似为正态分布。

非负性：事件发生次数k≥0，因此概率仅在非负整数范围内有意义，k为负数时概率为0。

可加性：若两个相互独立的随机变量X、Y分别服从参数为λ₁和λ₂的泊松分布，则X+Y服从参数为λ₁+λ₂的泊松分布。

举例说明，如果1000平方米一匹的化纤布平均瑕疵点数是25，那么100平米的化纤布服从均值为2.5的泊松分布，他们是可分（可叠加）的。

注：这是历年真题高频考点！

泊松分布的概率质量函数用于计算“在固定单位内，事件恰好发生k次”的概率，数学表达式为：

其中：

X为随机变量，表示“固定单位内事件发生的次数”；

k为事件发生的具体次数（k=0,1,2,...）；

λ（读作“拉姆达”）是泊松分布的唯一参数，代表“固定单位内事件发生的平均次数”（λ>0）；

e是自然常数（约2.7183）；

k!表示k的阶乘（注意0! = 1）

（可能有同学问什么是阶乘？举例当k=5时，5! =5×4×3×2×1）

泊松分布的形态由唯一参数λ完全决定，通常记为X ~ P(λ)（或X ~ Poisson(λ)）。

λ既是“固定单位内事件发生的平均次数”，也是泊松分布的均值（期望）和方差。

均值（期望）E(X) = λ：长期观察下，固定单位内事件发生的平均次数为λ；

方差Var(X) = λ：事件发生次数的离散程度由λ决定，λ越大，发生次数的波动范围越大。

注意：泊松分布“均值=方差”的性质是判断数据是否服从泊松分布的重要依据之一。

敲黑板：这里有个很多同学疑惑的点，泊松分布里均值和方差为什么相等？

我们知道均值与原观测值的量纲（ps量纲是单位的意思）相同，比如观测值的量纲是米，那么均值也是米，方差的量纲一定是原观测值的平方，那方差的量纲就是平方米， 那么米=平方米？这怎么可能？！

所以，仅从量纲上看，由于量纲自己与量纲的平方竟然相同

那么此量纲一定是无量纲的常数，即“点数”“件数”“次数”“个数”等

任何带有实际物理量纲者（如长度、重量等）绝不可能服从泊松分布

纵观世间分布成百上千，有此性质的分布唯有泊松分布！（霸气否~~）

文章开头说到，泊松分布最初是用于解决二项分布在“试验次数多、单次概率小”场景下的近似计算问题。

所以泊松分布的起源是二项分布的近似，当二项分布（X ~ B(n,p)）满足“试验次数n极大、单次试验成功概率p极小

（通常n≥100，p≤0.05），且np=λ（λ为常数）时，二项分布可近似为泊松分布P(λ)。

二项分布的概率计算需用到组合数C(n,k)，当n极大时计算量极大；

而泊松分布的概率公式更简洁，可大幅简化计算。

例如，计算“10000个零件中恰好出现3个次品”的概率（单次次品率p=0.003），可直接用λ=np=3的泊松分布近似计算，无需复杂的组合数运算。

我们来用minitab算一下

minitab路径：计算-概率分布-二项

点击确定

得出常量0的概率为0.0497647

我们再用泊松分布算一下

minitab路径：计算-概率分布-泊松分布

均值3是10000×0.003=3

点击确定

得出常量为0的概率为0.0497871,与二项分布得出概率为0.0497647无限接近

感兴趣的同学可以将常量为0.1.2.3.4.5.6......都用minitab试试

看看泊松分布于二项分布的差异到底大不大

关于二项分布、泊松分布、泊松分布之间的关系我们这里延伸一下：

①当二项分布中的参数n足够大（比如超过100），参数p不是太大或太小（0.1＜p＜0.9），则二项分布B（n，p）近似于正态分布N（np，np（1－p））。

意味着在某种特定情况下二项分布近似正态分布

②在二项分布中，当n较大（超过100）时，如果p值很小（p＜0.05，且np＜30），则二项分布B（n，p）可以近似看成是Poisson分布P（np）。

意味着在某种特定情况下二项分布近似泊松分布

那么我们是不是可以列个等式如下：特定条件下

二项分布≈泊松分布≈正态分布

那这个理论正确吗？

大胆猜想小心求证，我们用minitab试一下

分别随机一组样本量为100的泊松分布和二项分布

得到以下两组数据：

我们做图形化汇总

得出图形化汇总

可以看到此时的泊松分布和二项分布P均大于0.05，他们都符合正态分布

所以特定条件下：

二项分布≈泊松分布≈正态分布可以成立！

今天这篇文章干货内容比较多，建议同学们反复观看，彻底掌握泊松分布的相关知识点。

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