举一个书上的经典栗子，要分析吸烟与咳嗽是否有关系。

调查了2000人，在1200名不吸烟的人中，有1100人不咳嗽，有100人咳嗽；而800名吸烟的人里，有700人不咳嗽，100人咳嗽。

我们可以根据上面的数据汇集成一个表格，如下：

其实，这些数据是样本的调查值，又称之为实际观测值，但实际观测值不一定是准确符合当前现状的，我们根据这些样本要计算出期望值，用期望值与实际观测值比较；我们可以得到以下数据：

咳嗽的人：200，其概率是200/2000=0.1

吸烟的人：800，其概率是800/2000=0.4

那么，吸烟且咳嗽的人的概率：0.1*0.4=0.04，因此吸烟且咳嗽的人数应该是：0.04*2000=80

假如吸烟与咳嗽无关的话，吸烟且咳嗽的人应该是80，但实际观测值则是100，20人的差距不算大，我们可以认为是观测上存在误差。

同样，不咳嗽的人：1800，其概率是1800/2000=0.9

那么，吸烟且不咳嗽的人概率是0.4*0.9=0.36，因此吸烟且不咳嗽的人应该是0.36*2000=720，实际观测值是700。

两者结合说明吸烟与咳嗽存在关系。

我们可以通过上面的方法得到每一个期望值，如下：

这就是卡方检验的一个手动计算步骤，当然现在已经不需要我们这样一步步计算分析，可以很轻松的借助软件直接得到结果，但我们要清楚的是每一个值是怎么得来的，这样才能更好的理解、分析我们想要的结果。