同学们遇到过这种情况吗？

一台秤，放上 2kg 的标准砝码，读数 2.03；再放一次，1.98。

多称几次，每次数字还都不一样。

这时候问题就来了：这台秤到底准不准？

那些差异只是称的时候随手抖一下、环境晃一下带来的随机误差，还是这台秤本身就称高了、称低了？

要回答这个问题，得拆成两步走：

第一步，看它到底有没有偏倚；

第二步，如果确实有偏倚，再看这个偏倚在整个量程上有没有线性。

下面就用一组真实的数据，把这两步完整走一遍。

一、偏倚值是怎么算出来的

先理解偏倚的定义：

参考值就是标准件的真值。

比如 2kg 的砝码，参考值就是 2。

用它去称，得到的读数减去 2，就是这一次的偏倚值。

正数说明称高了，负数说明称低了。

这张图的横坐标是参考值，取了 2、5、10、15、20kg 五个点。

纵坐标是偏倚值。

在 2kg 这个位置有 6 个蓝色的点，代表这台秤称了 6 次，每次都算出一个偏倚值，有正有负。

5、10、15、20kg 的位置也一样，各称 6 次，一共 30 个数据。

中间那个红色的正方形，是这 6 次偏倚值的平均值。

看红色方块比看蓝点省事，趋势一眼就出来了。

图里那条横着的虚线，是偏倚 = 0 的基准线。

红色方块落在虚线上方，就是称高了；落在下方，就是称低了。

但是问题来了：这 6 次的平均值并没有正好压在 0 线上，而是偏上或者偏下了一点点。

这个差距，到底是随机误差晃出来的，还是真的存在偏倚？

六西格玛讲究用数据说话，不能只靠肉眼看图拍脑袋。

所以要用统计学的方法来判。

二、第一步：偏倚到底存不存在

判定偏倚有两条路，结论是一致的：

看 Minitab 输出的 P 值，小于 0.05 就认为偏倚显著

看 偏倚 = 0 是否落在 95% 置信区间里面，没落进去，就说明偏倚显著。

先看整体的情况。

整体的偏倚平均值是 0.117667，P 值 = 0.000，远小于 0.05。

结论很清楚：这台秤整体上确实存在偏倚，不是随机波动晃出来的。

再看每一个参考值单独的情况。

2、5、10、15、20kg 各对应一个 P 值，其中只有参考值为 20 的那一个，P 值 = 0.001 ＜ 0.05，偏倚显著。

回头看图1 也能印证：20kg 那个红色方块离 0 线最远，偏倚最大。

其余四个点呢？

2kg 处的平均偏倚是负的，5、10、15kg 是正的，正负一抵消，整体的偏倚就被拉小了不少。

所以单独看它们的时候，都还没到显著的程度。

这里要提醒一句：原则上，我们要求量程内任何一处都不存在偏倚，那才是最好的测量系统。

现在 20kg 这一点出了问题，严格讲这台秤就是“不合格”的。

三、既然有偏倚，还能用吗

先别急着下结论。

如果能在某一个点上准确知道偏倚的数值，或者整个量程有一个共同的偏倚，那我们直接把偏倚扣掉，不就能得到真值了吗？

可是测量系统分析只能在量程里挑几个点来做，不可能把每一点都测一遍。

那怎么才能知道量程内任意一点的偏倚是多少？

答案就落在线性上。

如果偏倚在整个量程内具备线性关系，那就可以用已有的测量结果，按这个规律把任意一点的偏倚算出来。

这就是有偏倚的情况下，不幸中的万幸。

反过来说，如果有偏倚，又没有线性，偏倚在量程里忽大忽小、忽正忽负、毫无规律，那就真的没法修正了。

所以我们本来不想要偏倚，可事已至此，就只能退一步，希望它是有规律的。

记住这三句话

无偏倚 → 最好，又快又准

有偏倚 + 有线性 → 还行，可以算出偏倚量去修正

有偏倚 + 无线性 → 放弃，规律都没有，无从下手

所以第二步，就要接着看这台秤的线性。

四、第二步：线性显著吗

图里那条红色的实线，就是回归拟合线，也就是通过回归方程建出来的模型：

y = a + b·x

a 是截距，b 是斜率。

这个回归模型怎么建出来的？

看 Minitab 输出的系数表就知道了。

截距 a，也就是常量，等于 −0.09264；

斜率 b 等于 0.020222。

代入进去，回归方程就是：

y = −0.09264 + 0.020222 x

再看这两个系数的 P 值：斜率和常量的 P 值都小于 0.05，都是显著的，而且斜率和截距都不等于 0。

结合那条明显往上斜的拟合直线，可以肯定：线性是显著的。

这条红色拟合线，可以理解为偏倚随参考值变化的理论模型。

既然线性显著，那只要知道 x，就能算出理论上的偏倚值 y：

回归方程 y = −0.09264 + 0.020222x 推算各参考值处的理论偏倚

比如 8kg 这个点我们根本没测过，代入方程就能算出偏倚大约是 0.069。

这就是不幸中的万幸——虽然有偏倚，但因为有线性，可以纠偏修正。

五、绿色虚线到底在说什么

有同学会问那两条绿色虚线是什么意思？

先看它的走向：绿色虚线跟着红色拟合线一起往上升，中间窄、两头宽。

它的含义是：多次测量的平均值，有 95% 的可能性落在绿色虚线围成的区间里。

注意，是平均值，不是单个测量值。

单个值散得更开，对应的区间还要更宽。

那它跟偏倚判定有什么关系？

绿色虚线和偏倚 = 0 的基准线是相交的，

也就是说

0 线并没有被置信区间完整地包在里面。

这里要注意"包含"这两个字：必须整条 0 线都落在绿色区间里面，才算包含。

只包住一部分，不算数。

如下图我手画的就算是全部包含

回到本图，置信区间没有完整包含 0 线，

反过来说就是：一定会产生偏倚。

再看 P 值，整体的 P = 0.000 ＜ 0.05，偏倚显著。

两种方法得出的结论完全一致。

六、小结

先算偏倚：偏倚 = 测量值 − 参考值；

判断偏倚存不存在：看 P 值，或者看 0 线有没有完整落在 95% 置信区间里；

如果确实有偏倚，接着看线性：拟合回归方程，斜率显著就说明有线性；

有线性，就能按规律推算出量程内任意一点的偏倚，用扣减的方式修正。

读图这件事，最怕的是只看点、不看 P 值，或者只看 P 值、不看图。

P值和图形两个对照看，结论才更可信。

这篇文章就到这里，

还有没说清楚的地方，

欢迎在评论区留言讨论。

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