首先，我们要知道什么是残差图，残差图长什么样？就是下面的这个“四合一”图。


但残差不等于残缺，残差图也不是断臂的维纳斯，上面4个图缺一不可。

有同学要问了，为什么叫残差？残差到底是什么意思？

残差是利用x估计的回归方程去预测y而引起的误差

有的同学听到这个解释，是这个表情

那我们先简单来解释一下什么是残差


红色方框里，是温度x取各种值时实际的y产量，这和模型无关；



绿色方框里，是温度x取各种值时根据y=60+5x这个模型，计算出来的理论产量，这和实际产量无关，是理论值；



黄色方框里，就是实际值减去理论值得来的，

以第一行温度x=2时为例，实际产量为58，

理论产量为y=60+5*2=70，残差就是58-70=-12

由此可见，残差是实际值与模型构建的理论值的差值，我们称之为残差。

现在，我们回过头来看看刚才的解释，是否就可以理解了。

残差是利用x估计的回归方程去预测y而引起的误差

这个时候，同学们的表情应该是这样才对


现在我们知晓了残差的基本含义时，我们还需要知道残差值的以下特性假定：（敲黑板，划重点）

①残差的均值为0

②残差的方差相等

③残差值相互独立，互不影响

④残差服从正态分布

我们之所以能利用T检验和F检验去确定X和Y之间的关系是否显著，并得出置信区间估计和预测区间估计，其理论上的依据皆源于上述关残差的几项基本假定。如果残差的假定不那么可靠，那么有关回归关系的显著性假设检验和区间估计的结果也就不可靠。

简单来说，我们做残差分析，就是要分析这四项假定是否满足要求

如果假定对所有的x值，残差的方差都是相同的，并且假定描述变量X和Y之间关系的回归模型是合理的，那么残差图给出的一个总印象就是，所有的散点都应随机地无规律落在一条以0为中心的水平带中间。

如果不是这样，就意味着这里出现问题，接下来我们逐个分析

我们先看左上角这个图


这个图，我们需要判断④残差服从正态分布是否符合要求

有两个办法：

第一是看图形，各个点是否紧紧围绕在直线附近，未发生弯曲，即为正态，不过这个方法比较粗糙；

第二个办法是看P值是否大于0.05，图形中P0.455＞0.05，可以得出残差正态，这个方法比看图形更加准确。

我们看左下角这个图


这个图形我们可以判断什么呢？

第一点，看横坐标的中间是0，我们可以看出0左边的数据频数和0右边的数据频数，还可以看出大概的取值范围，从而可得粗略得出①残差的均值为0的结论。

第二点，这是直方图，也能粗略的看图形分布是左偏还是右偏，还是基本正态，也可以基本得出④残差服从正态分布的结论，当然这个图形参考意义大于实际意义。

最常见的评判残差图是否异常，主要是看右上角和右下角的这两张图

我们再看右上角这个图


可以看到横坐标是拟合值（也就是通过模型计算出的理论值），也就是上表中绿色方框。

纵坐标是残差值，是实际值减去拟合值得出的误差值，也就是上表中黄色方框。

由于第三个假定③残差值相互独立，互不影响，那么残差值随着拟合值的增加，而不会发生任何有规律的变化，从这个图也看出来，确实是杂乱无章，没有跟着增大或减小，是好事情。如果发生了有规律的变化，那就说明残差不独立，受某种未知的因素影响了。

在这里，如果残差和拟合值发生弯曲，我们首先要考虑对Y的变换

我们最后看右下角这个图


还是由于第三个假定③残差值相互独立，互不影响，残差值不会因为顺序而自己发生任何有规律的变化，这里有规律的变化我们常见的有喇叭口、漏斗型、拱桥型，一字型等，这里也没有任何规律，说明是好事。



残差图的这四个图我们讲完了，可以看到残差和拟合值比较了，也和顺序值比较了，那有同学就要说了，残差图可不可以和X值比较？


这就是残差与自变量比较的图，它是游离在残差四合一图以外的

我们知道③残差值相互独立，互不影响，

它这里独立，不仅要和Y比，和顺序比，还要和X比，都要随机独立才行。不然就是哪里出现了问题

如果这里残差和X的图发生了弯曲，我们还要对Y做变换吗？如下



那这个时候就要增加X的高次项，再次回归


可以看到，这个图形弯曲以后，我们对X增加了高次项，可以使得残差与X自变量图形变正常。

所以当我们遇到实际问题的时候，问你是要对Y做变换还是对X增加高此项，

你就要看到底是残差图与拟合值的图形有问题，

还是残差与自变量的图形有问题！

切记切记！

 自习人，是一种学习方式。


讲到这里我相信大家估计领会的差不多了，那我们就来刷刷题，巩固一下知识点

这是公众号：自习人课堂 里面《黑带试卷2》的第30题。


下面是题库中对于该题目的详细解析，你做对了吗？


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